庄家比玩家更容易爆牌。庄家更易爆牌——算十法的比率越低玩家越有利。算十法中玩家的大致优势（来源。算十法在索普教授发明的多种算牌法中。点数大者获胜③玩家和庄家都没有爆牌而且点数相同。+1、0、-1【+1牌】2、3、4、5、6【0牌】7、8、9【-1牌】10、J、Q、K、A高低点数随发牌而更新。落败②玩家和庄家都没有爆牌时。【庄家】庄家点数不超过16时必须继续要牌。就像算牌法那3%的优势——小小的概率差带来了优势。庄家翻开暗牌③庄家点数不超过16时必须继续要牌。牌2-10的点数就是牌面数字。扑克牌有记忆——算十法跟踪牌堆里两种牌的张数。高低索引值=高低点数/剩余牌数*100计算高低点数的同时追踪剩余牌数。算牌大概能给玩家带来每局3%的优势。仔细对比玩家和庄家的要牌规则。
有优势的下注叫投资，
没优势的下注叫赌博。
—— 约翰·拉里·凯利
这是屠夫的第 552 篇原创，全文 5000 字
⚠️ 本文仅为数学原理研究，核心方法来自国内合法出版物，请勿赌博！
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前言
写专栏和公众号已有四五年，偶尔回看，惊喜地发现许多好文值得重读。
新同学常常在提问后才发现遗珠，未免太折腾，屠夫决定每周带大家重温一篇经典好文。
原文首发于2019年8月，本文有修改。
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金钱永不眠，屠夫问候各位晚上好。
拉斯维加斯的赌场有3个公开的秘密 ——
第一，赌场全部实装人脸识别系统，实时识别“黑名单客人”并发出告警
第二，收到告警后，赌场会立刻派人“请”客人离开，甚至不惜贴钱送走
第三，每年美国名校数学系的入学新生信息，都会被录入到黑名单中
前两点很好理解，不想接待老千和难缠的客人嘛。
第三点就有点奇怪了：是名校要求赌场、不让学生赌博吗？但为什么只针对数学系呢？专门歧视学霸不成？
不不不，开门做生意的赌场当然不搞歧视，他们这么做是因为一段往事 ——
1994年，几位大学生曾凭借“21点算牌法”横扫拉斯维加斯，卷走7000万美元赌金。（这个事件还被改编成电影《决胜21点》，详见文末）
更早的时候，一位名为爱德华·索普的数学系教授发明了这种必胜方法，在几小时内赢走几十万美元的赌金，然后拂袖而去。（其实是被各大赌场联合通缉了）
爱德华·索普何许人也？
- 全球第一个量化交易对冲基金创始人
- “股神”沃伦·巴菲特的投资者兼好友
- “信息论之父”克劳德·香农的合作伙伴
- “黑天鹅之父”纳西姆·塔勒布亲自为他的传记作序……
上世纪60年代，索普利用撰写论文的空闲时间完成了赌博专著《击败庄家》。
这本书详细记录了他发明的算牌法，而且在赌场中经过实战验证，《赌命21点》里的小白就用到其中的「算十法」。
今天，屠夫以最通俗的语言为大家解释清楚这个基于严密数学逻辑、经过无数实战验证的，21点必胜法。
21点的基本规则
1994年，21岁的马恺文就读于MIT麻省理工学院 —— 这是在任何一个高校排行榜上都能名列前五的、名校中的名校。
这样一位优等生，却和几个同伴过着双重生活：白天在学校上课，晚上到赌场捞金。
“Winner! Winner! Chicken Dinner!”（大吉大利，今晚吃鸡！）
他的口头禅，一度成为赌场老板们的噩梦。
（来源：电影《决胜21点》）
讲算牌法前，屠夫先梳理一下「21点」（又名 黑杰克）的基本规则 ——
玩家数量：1个庄家，1-7个玩家
纸牌数量：1副52张的纸牌（无大小王），但越来越多赌场使用2或4副
发牌规则：庄家给自己发2张牌，再给每个玩家发2张牌。庄家的牌一张朝上（明牌），一张朝下（暗牌）；玩家两张牌都是明牌
点数计算：牌2-10的点数就是牌面数字；花牌（J/Q/K）点数都是10；牌A可以算1点或11点
上述几条都比较简单，接下来的“要牌规则”才是游戏的核心。
① 发牌过后，玩家可以自由选择“要牌”或者“停牌”
② 所有玩家要牌之后，庄家翻开暗牌
③ 庄家点数不超过16时必须继续要牌，大于等于17时必须停牌
④ 如果庄家拿到A，且按11点计算会使总点数大于等于17，又不超过21点，那么庄家必须将该张A算作11点并停止要牌
最后是胜负判定：
① 若一方总计点数超过21点，即为“爆牌”落败
② 玩家和庄家都没有爆牌时，点数大者获胜
③ 玩家和庄家都没有爆牌而且点数相同，打平
篇幅有限，本文跳过分牌/加倍/保险等玩法，直击核心原理，就是这7条规则。（加上那些玩法后算牌法依然有效，只是算牌者要记忆的内容更多一些）
看出哪里不对劲了吗？
接下来是解谜阶段咯~
两条定理
学数学时，我们往往需要推导出一些定理，才能更方便地进行研究和探索。
玩21点之前，我们也要从规则推导出这个游戏的“定理”，以便更好地掌控这个游戏。
定理1：扑克牌有记忆。
屠夫说过：21点和投资，都是连接过去与未来的游戏。
一轮发牌的结果会影响下一轮甚至下下一轮的结果，因为用的是同一副牌。
所以，21点游戏绝对不属于“独立随机过程”。
举例来说：游戏第一轮就出现了4张A，那么这轮结束之后，这些牌面朝上放入牌堆底部。
第二轮从剩余的牌里抽取，那么从第二轮开始就没有A，这种情况会持续到一副牌用完或者重新洗牌 —— 在此之前，玩法跟“牌堆有A”完全不一样。
庄家如果每局结束都洗牌或者换一副新牌，不就可以消除“记忆”了吗？
你别说，赌场还真试过，后来主动放弃了。因为每局洗牌耗时太长太拖沓，没人愿意玩，反而损失更大……
根据这条定理，我们得知 ——
根据已经用过的牌，可以推断即将出现的牌。
（来源：电影《决胜21点》）
定理2：庄家更易爆牌。
所谓爆牌，就是手牌总点数超出21点，直接判负。
然而在这个游戏里，庄家比玩家更容易爆牌！
仔细对比玩家和庄家的要牌规则：
【玩家】发牌过后，玩家可以自由选择“要牌”或者“停牌”
【庄家】庄家点数不超过16时必须继续要牌，大于等于17时必须停牌
点数不超过11时，要牌是安全的。因为纸牌最大点数只有10点（10/J/Q/K），A可以算1也可以算11，不会出现爆牌的情况。
点数到达12～16时，开始出现爆牌的风险。由于庄家必须要牌，一旦抽中10点牌，必爆无疑。
事实上，庄家点数13时抽中9也爆，14时抽中8也爆，15时抽中7也爆，16时抽中6也爆……
总体而言，高点数的牌越多，对庄家越不利。
一般人会把注意力集中在点数大小上，忽略了“爆牌”这一要素。
是不是很眼熟？
《给我1枚硬币》里，屠夫跳出常规的概率思维，使用“爆仓”让984名赌徒出局。
这次不过是把“概率”换成了“点数大小”，“爆仓”换成“爆牌”而已。
「定理1」告诉我们：根据已用牌，可以推算未来牌；
「定理2」告诉我们：高点数牌越多，庄家越易爆牌。
记住这两条定理！
算十法
在索普教授发明的多种算牌法中，「算十法」和「完全计点法」效果最好。
《赌命21点》里，屠夫把算十法总结为一张图：
一副52张的纸牌可以划分成两类：16张10点牌（四种花色的10/J/Q/K），和36张其他牌。
完全未使用过的牌堆里，这两者的比率是 36 ÷ 16 = 2.25。
而每发一张牌，牌堆自然少一张，那么分子或者分母就会减1，从而整个比率会发生变化。
根据定理2，高点数牌越多，庄家越易爆牌，所以 ——
这个比率越低，证明余牌中的10点牌占比越大，玩家的优势越明显。
这个“优势”到底是多少呢？
索普教授推算出了不同比率下的玩家胜率：
算十法中玩家的大致优势（来源：击败庄家）
实战中，你还需要结合庄家明牌点数和自己的手牌，作出要牌、分牌、加倍等复杂决策。
下图就是算十法的完整策略表，表格内数字表示比率临界点数。
按你的手牌和庄家明牌点数查出临界点数，若当前比率大于临界点数则停止要牌/分牌/加倍。
按策略表来操作，你在21点中的获胜概率将会高于庄家：
算十法完整策略表（来源：击败庄家）
赌博的诀窍是什么？
优势明显才下重注，没有优势时少下注。
比率2.25，就是“优势”的量化指标。
看过《决胜21点》的朋友会嘀咕：怎么跟我看过的不太一样？
因为你看过的，是另一种更有效但更考验脑力的算牌法 ——
完全计点法
完全计点法，又叫高低计点法，采用和算十法完全不同的体系。它把所有牌划分成三种高低点数：+1、0、-1
【+1牌】2、3、4、5、6
【0牌】7、8、9
【-1牌】10、J、Q、K、A
高低点数随发牌而更新，比如荷官依次发出这几张牌：
5（+1），J（-1），3（+1），8（0）
那么当前的高低点数是+2。
荷官接下来再发3张牌：
2（+1），K（-1），A（-1）
那么当前的高低点数就是+1。
《决胜21点》里特意用了几分钟时间，借男主第一次算牌来展现高低点数的计算，但这只是完全计点法的冰山一角 ——
在高低点数的基础上，你需要算出高低索引值：
高低索引值 = 高低点数 / 剩余牌数 * 100
计算高低点数的同时追踪剩余牌数，再实时用除法求出索引值，难度非常高。
赌桌前，一旦出错就会前功尽弃，所以负责赢钱的“大赢家”必须有堪比CPU的运算能力。
《决胜21点》男主的原型马恺文，以及发明算牌法的索普教授，恰恰就是拥有“超级大脑”的天才。（不是名校数学系的高材生，还真干不来）
（来源：电影《决胜21点》）
接下来的事情就跟算十法很像了：结合庄家明牌点数和自己的手牌，作出是否要牌、分牌、加倍等决策。
下图是完全计点法的要牌策略表。和算十法一样，表格内数字表示临界点数，要用当前的高低索引值做对比。
完全计点法要牌策略表（来源：击败庄家）
不难发现，无论是算十法还是完全计点法，都是基于两条定理展开：
定理1：扑克牌有记忆 ——
算十法跟踪牌堆里两种牌的张数，完全计点法跟踪高低点数和余牌数；
定理2：庄家更易爆牌 ——
算十法的比率越低玩家越有利，完全计点法的索引值越高玩家越有利。
到这里，算牌法的原理已经基本解释完。
现在你可以凭借算牌在21点里大杀四方……
等等，你是不是还忘了什么？
下注和分工
赌博的诀窍是什么？
优势明显多下注，没有优势少下注。
问题是，多少算多？多少算少？
《击败庄家》中给出了完全计点法的下注建议：
赌注的下注数量，应当是高低索引值的一半。
也就是说，高低索引值是2或更低时，下1个单位赌注；高低索引值是4时，下2个单位；高低索引值是6时，下3个单位……以此类推。
索普教授还特意提醒：别下超过5倍的赌注，以免引起赌场怀疑。
下注问题解决了，但 ——
电影里的算牌小组又是怎么一回事呢？
（来源：电影《决胜21点》）
《决胜21点》是根据真实事件改编的，主角的原型是天才华裔少年马恺文。
自从《击败庄家》出版后，掌握算牌法的赌徒越来越多，赌场在这个游戏里赚的钱越来越少，开始千方百计地驱逐算牌玩家。
单打独斗的算牌太容易被发现，于是MIT的学生们想到了团队合作。他们乔装打扮绕过赌场的监视，分头行动 ——
侦查员（Spotter）负责追踪牌堆情况，通常有3~5个人，分散在不同赌桌。
他们总是下最低赌注，目的是追踪当前牌堆的点数，当牌堆“变热”之后（庄家容易爆牌），给同伴发出信号。
侦查员双手交叉放到背后时，另一种同伴就该上场了 ——
（来源：电影《决胜21点》）
大赢家（Big Player）负责赢钱，也是团队中算牌能力最强的。
大赢家会打扮成土豪或者富二代，突出一个“钱多人傻、热衷梭哈”。
经过长时间追踪，牌堆已经到了玩家优势较大的局面。如果侦查员这时突然加重赌注，很容易引起荷官和赌场的怀疑。
所以这个任务得交给刚进场又“热衷梭哈”的大赢家 —— 比如马恺文。
（左边是发福后的马恺文本人，右边是《决胜21点》的主角）
注意了，一直追踪这张赌桌的是侦查员，ta知道此时牌堆的高低点数，但大赢家并不知道。
所以侦查员这时会扯几句看似无心的闲聊，利用暗语 —— 比如“甜”表示“+16” —— 告诉刚进场的大赢家，这张赌桌目前的高低点数。
（来源：电影《决胜21点》）
随后他们会一边下注一边继续算牌：
侦查员只需要计算高低点数，每过一阵就利用暗语报出点数，作为核对验算的参考。
大赢家在计算高低点数的同时，还要在脑海中“搜索”到对应索引值，算出当前的下注额度。
在这过程中，他们还会和荷官以及其他玩家闲聊瞎扯，装出一副漫不经心的样子，其实大脑正在全速运作。
等到牌堆“冷下来”的时候（玩家优势小），大赢家离桌退场，侦查员留下继续，等待下一轮机会再发出信号。
通过这套体系，MIT算牌小组规避了“一个人有时重注有时小注”的可疑行为。
马恺文和他的同伴们躲过赌场的重重监视，每个周末都能轻松赢走几十万。
金盆洗手时，他们已经赢走了7000万美元！
写在最后
《算牌型投资者》里，屠夫最后总结道：
算牌大概能给玩家带来每局3%的优势。
恰恰是这不起眼的3%，打破了系统的平衡，
在一次又一次的重复中，玩家趋近于必胜。
看书学习，阅读研报，认真分析……
这些行为不能保证我们每一笔投资都赚钱，但可以提高我们每一笔投资的成功概率。
就像算牌法那3%的优势 ——
小小的概率差带来了优势，在占优的前提下，我们还需要有充足的耐心，让一次又一次重复的赌局把我们领向终胜。
记住：
概率思维是投资者的试金石。
轻视概率的人只能当一辈子赌鬼。
看完这篇文章，希望你在增加“没用的知识”之余，还能学到一点别的东西。
今天的内容灵感来自爱德华·索普的《击败庄家》以及电影《决胜21点》，感谢读完。
如果觉得文章不错，希望你能点下【在看】让更多人看到，谢谢支持！
⚠️ 本文仅为数学原理研究，核心方法来自国内合法出版物，请勿赌博！
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